引子

很多朋友和我一樣，工科電子類專業(yè)，學(xué)了一堆信號(hào)方面的課，什么都沒(méi)學(xué)懂，背了公式考了試，然后畢業(yè)了。

先說(shuō)"卷積有什么用"這個(gè)問(wèn)題。(有人搶答，"卷積"是為了學(xué)習(xí)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課的后續(xù)章節(jié)而存在的。我大吼一聲，把他拖出去*斃!)

講一個(gè)故事:

張三剛剛應(yīng)聘到了一個(gè)電子產(chǎn)品公司做測(cè)試人員，他沒(méi)有學(xué)過(guò)"信號(hào)與系統(tǒng)"這門課程。一天，他拿到了一個(gè)產(chǎn)品，開(kāi)發(fā)人員告訴他，產(chǎn)品有一個(gè)輸入端，有一個(gè)輸出端，有限的輸入信號(hào)只會(huì)產(chǎn)生有限的輸出。

然后，經(jīng)理讓張三測(cè)試當(dāng)輸入sin(t)(t<1秒)信號(hào)的時(shí)候(有信號(hào)發(fā)生器)，該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了，花了一個(gè)波形圖。

"很好!"經(jīng)理說(shuō)。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號(hào)，都用公式說(shuō)明了，輸入信號(hào)的持續(xù)時(shí)間也是確定的。你分別測(cè)試以下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧!"

這下張三懵了，他在心理想"上帝，幫幫我把，我怎么畫出這些波形圖呢?"

于是上帝出現(xiàn)了: "張三，你只要做一次測(cè)試，就能用數(shù)學(xué)的方法，畫出所有輸入波形對(duì)應(yīng)的輸出波形"。

上帝接著說(shuō):"給產(chǎn)品一個(gè)脈沖信號(hào)，能量是1焦耳，輸出的波形圖畫出來(lái)!"

張三照辦了，"然后呢?"

上帝又說(shuō)，"對(duì)于某個(gè)輸入波形，你想象把它微分成無(wú)數(shù)個(gè)小的脈沖，輸入給產(chǎn)品，疊加出來(lái)的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊(duì)進(jìn)入你的產(chǎn)品，每個(gè)產(chǎn)生一個(gè)小的輸出，你畫出時(shí)序圖的時(shí)候，輸入信號(hào)的波形好像是反過(guò)來(lái)進(jìn)入系統(tǒng)的。"

張三領(lǐng)悟了:" 哦，輸出的結(jié)果就積分出來(lái)啦!感謝上帝。這個(gè)方法叫什么名字呢?"

上帝說(shuō):"叫卷積!"

從此，張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測(cè)試一些信號(hào)的輸出結(jié)果，張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務(wù)了!

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張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。

經(jīng)理拿來(lái)了一個(gè)小的電子設(shè)備，接到示波器上面，對(duì)張三說(shuō): "看，這個(gè)小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒(méi)法用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)說(shuō)明，而且，它連續(xù)不斷的發(fā)出信號(hào)!不過(guò)幸好，這個(gè)連續(xù)信號(hào)是每隔一段時(shí)間就重復(fù)一次的。張三，你 來(lái)測(cè)試以下，連到我們的設(shè)備上，會(huì)產(chǎn)生什么輸出波形!"

張三擺擺手:"輸入信號(hào)是無(wú)限時(shí)長(zhǎng)的，難道我要測(cè)試無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間才能得到一個(gè)穩(wěn)定的，重復(fù)的波形輸出嗎?"

經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚!"

張三心想:"這次輸入信號(hào)連公式都給出出來(lái)，一個(gè)很混亂的波形;時(shí)間又是無(wú)限長(zhǎng)的，卷積也不行了，怎么辦呢?"

及時(shí)地，上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時(shí)間域信號(hào)映射到另外一個(gè)數(shù)學(xué)域上面，計(jì)算完成以后再映射回來(lái)"

"宇宙的每一個(gè)原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩，你可以把時(shí)間信號(hào)看成若干個(gè)震蕩疊加的效果，也就是若干個(gè)可以確定的，有固定頻率特性的東西。"

"我給你一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)f，時(shí)間域無(wú)限的輸入信號(hào)在f域有限的。時(shí)間域波形混亂的輸入信號(hào)在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計(jì)算了"

"同時(shí)，時(shí)間域的卷積在f域是簡(jiǎn)單的相乘關(guān)系，我可以證明給你看看"

"計(jì)算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時(shí)間域，你就得到了一個(gè)輸出波形，剩下的就是你的數(shù)學(xué)計(jì)算了!"

張三謝過(guò)了上帝，保住了他的工作。后來(lái)他知道了，f域的變換有一個(gè)名字，叫做傅利葉，什么什么... ...

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再后來(lái)，公司開(kāi)發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品，輸出信號(hào)是無(wú)限時(shí)間長(zhǎng)度的。這次，張三開(kāi)始學(xué)拉普拉斯了......

后記:

不是我們學(xué)的不好，是因?yàn)榻滩牟缓茫蠋熤v的也不好。

很欣賞Google的面試題: 用3句話像老太太講清楚什么是數(shù)據(jù)庫(kù)。這樣的命題非常好，因?yàn)闆](méi)有深入的理解一個(gè)命題，沒(méi)有仔細(xì)的思考一個(gè)東西的設(shè)計(jì)哲學(xué)，我們就會(huì)陷入細(xì)節(jié)的泥沼: 背公式，數(shù)學(xué)推導(dǎo)，積分，做題;而沒(méi)有時(shí)間來(lái)回答"為什么要這樣"。做大學(xué)老師的做不到"把厚書讀薄"這一點(diǎn)，講不出哲學(xué)層面的道理，一味背書和翻講 ppt，做著枯燥的數(shù)學(xué)證明，然后責(zé)怪"現(xiàn)在的學(xué)生一代不如一代"，有什么意義嗎?

第二課 到底什么是頻率 什么是系統(tǒng)?

這一篇，我展開(kāi)的說(shuō)一下傅立葉變換F。注意，傅立葉變換的名字F可以表示頻率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因?yàn)樗皇且粋€(gè)概念模 型，為了解決計(jì)算的問(wèn)題而構(gòu)造出來(lái)的(例如時(shí)域無(wú)限長(zhǎng)的輸入信號(hào)，怎么得到輸出信號(hào))。我們把傅立葉變換看一個(gè)C語(yǔ)言的函數(shù)，信號(hào)的輸出輸出問(wèn)題看為IO 的問(wèn)題，然后任何難以求解的x->y的問(wèn)題都可以用x->f(x)->f-1(x)->y來(lái)得到。

1. 到底什么是頻率?

一個(gè)基本的假設(shè): 任何信息都具有頻率方面的特性，音頻信號(hào)的聲音高低，光的頻譜，電子震蕩的周期，等等，我們抽象出一個(gè)件諧振動(dòng)的概念，數(shù)學(xué)名稱就叫做頻率。想象在x-y 平面上有一個(gè)原子圍繞原點(diǎn)做半徑為1勻速圓周運(yùn)動(dòng)，把x軸想象成時(shí)間，那么該圓周運(yùn)動(dòng)在y軸上的投影就是一個(gè)sin(t)的波形。相信中學(xué)生都能理解這 個(gè)。

那么，不同的頻率模型其實(shí)就對(duì)應(yīng)了不同的圓周運(yùn)動(dòng)速度。圓周運(yùn)動(dòng)的速度越快，sin(t)的波形越窄。頻率的縮放有兩種模式

(a) 老式的收音機(jī)都是用磁帶作為音樂(lè)介質(zhì)的，當(dāng)我們快放的時(shí)候，我們會(huì)感覺(jué)歌唱的聲音變得怪怪的，調(diào)子很高，那是因?yàn)?quot;圓周運(yùn)動(dòng)"的速度增倍了，每一個(gè)聲音分量的sin(t)輸出變成了sin(nt)。

(b) 在CD/計(jì)算機(jī)上面快放或滿放感覺(jué)歌手快唱或者慢唱，不會(huì)出現(xiàn)音調(diào)變高的現(xiàn)象：因?yàn)榭旆诺臅r(shí)候采用了時(shí)域采樣的方法，丟棄了一些波形，但是承載了信息的輸出波形不會(huì)有寬窄的變化;滿放時(shí)相反，時(shí)域信號(hào)填充拉長(zhǎng)就可以了。

2. F變換得到的結(jié)果有負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)部分，有什么物理意義嗎?

解釋: F變換是個(gè)數(shù)學(xué)工具，不具有直接的物理意義，負(fù)數(shù)/復(fù)數(shù)的存在只是為了計(jì)算的完整性。

3. 信號(hào)與系統(tǒng)這們課的基本主旨是什么?

對(duì)于通信和電子類的學(xué)生來(lái)說(shuō)，很多情況下我們的工作是設(shè)計(jì)或者OSI七層模型當(dāng)中的物理層技術(shù)，這種技術(shù)的復(fù)雜性首先在于你必須確立傳輸介質(zhì)的電氣特性， 通常不同傳輸介質(zhì)對(duì)于不同頻率段的信號(hào)有不同的處理能力。以太網(wǎng)線處理基帶信號(hào)，廣域網(wǎng)光線傳出高頻調(diào)制信號(hào)，移動(dòng)通信，2G和3G分別需要有不同的載頻 特性。那么這些介質(zhì)(空氣，電線，光纖等)對(duì)于某種頻率的輸入是否能夠在傳輸了一定的距離之后得到基本不變的輸入呢? 那么我們就要建立介質(zhì)的頻率相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，知道了介質(zhì)的頻率特性，如何設(shè)計(jì)在它上面?zhèn)鬏數(shù)男盘?hào)才能大到理論上的最大傳輸速率?----這就是信號(hào)與 系統(tǒng)這們課帶領(lǐng)我們進(jìn)入的一個(gè)世界。

當(dāng)然，信號(hào)與系統(tǒng)的應(yīng)用不止這些，和香農(nóng)的信息理論掛鉤，它還可以用于信息處理(聲音，圖像)，模式識(shí)別，智能控制等領(lǐng)域。如果說(shuō)，計(jì)算機(jī)專業(yè)的課程是數(shù) 據(jù)表達(dá)的邏輯模型，那么信號(hào)與系統(tǒng)建立的就是更底層的，代表了某種物理意義的數(shù)學(xué)模型。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的知識(shí)能解決邏輯信息的編碼和糾錯(cuò)，而信號(hào)的知識(shí)能幫我們 設(shè)計(jì)出碼流的物理載體(如果接受到的信號(hào)波形是混亂的，那我依據(jù)什么來(lái)判斷這個(gè)是1還是0? 邏輯上的糾錯(cuò)就失去了意義)。在工業(yè)控制領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用前提是各種數(shù)模轉(zhuǎn)換，那么各種物理現(xiàn)象產(chǎn)生的連續(xù)模擬信號(hào)(溫度，電阻，大小，壓力，速度等) 如何被一個(gè)特定設(shè)備轉(zhuǎn)換為有意義的數(shù)字信號(hào)，首先我們就要設(shè)計(jì)一個(gè)可用的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型。

關(guān)鍵詞： 傅立葉變換 卷積