引子

很多朋友和我一樣，工科電子類專業，學了一堆信號方面的課，什么都沒學懂，背了公式考了試，然后畢業了。

先說"卷積有什么用"這個問題。(有人搶答，"卷積"是為了學習"信號與系統"這門課的后續章節而存在的。我大吼一聲，把他拖出去*斃!)

講一個故事:

張三剛剛應聘到了一個電子產品公司做測試人員，他沒有學過"信號與系統"這門課程。一天，他拿到了一個產品，開發人員告訴他，產品有一個輸入端，有一個輸出端，有限的輸入信號只會產生有限的輸出。

然后，經理讓張三測試當輸入sin(t)(t<1秒)信號的時候(有信號發生器)，該產品輸出什么樣的波形。張三照做了，花了一個波形圖。

"很好!"經理說。然后經理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號，都用公式說明了，輸入信號的持續時間也是確定的。你分別測試以下我們產品的輸出波形是什么吧!"

這下張三懵了，他在心理想"上帝，幫幫我把，我怎么畫出這些波形圖呢?"

于是上帝出現了: "張三，你只要做一次測試，就能用數學的方法，畫出所有輸入波形對應的輸出波形"。

上帝接著說:"給產品一個脈沖信號，能量是1焦耳，輸出的波形圖畫出來!"

張三照辦了，"然后呢?"

上帝又說，"對于某個輸入波形，你想象把它微分成無數個小的脈沖，輸入給產品，疊加出來的結果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊進入你的產品，每個產生一個小的輸出，你畫出時序圖的時候，輸入信號的波形好像是反過來進入系統的。"

張三領悟了:" 哦，輸出的結果就積分出來啦!感謝上帝。這個方法叫什么名字呢?"

上帝說:"叫卷積!"

從此，張三的工作輕松多了。每次經理讓他測試一些信號的輸出結果，張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務了!

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張三愉快地工作著，直到有一天，平靜的生活被打破。

經理拿來了一個小的電子設備，接到示波器上面，對張三說: "看，這個小設備產生的波形根本沒法用一個簡單的函數來說明，而且，它連續不斷的發出信號!不過幸好，這個連續信號是每隔一段時間就重復一次的。張三，你 來測試以下，連到我們的設備上，會產生什么輸出波形!"

張三擺擺手:"輸入信號是無限時長的，難道我要測試無限長的時間才能得到一個穩定的，重復的波形輸出嗎?"

經理怒了:"反正你給我搞定，否則炒魷魚!"

張三心想:"這次輸入信號連公式都給出出來，一個很混亂的波形;時間又是無限長的，卷積也不行了，怎么辦呢?"

及時地，上帝又出現了:"把混亂的時間域信號映射到另外一個數學域上面，計算完成以后再映射回來"

"宇宙的每一個原子都在旋轉和震蕩，你可以把時間信號看成若干個震蕩疊加的效果，也就是若干個可以確定的，有固定頻率特性的東西。"

"我給你一個數學函數f，時間域無限的輸入信號在f域有限的。時間域波形混亂的輸入信號在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計算了"

"同時，時間域的卷積在f域是簡單的相乘關系，我可以證明給你看看"

"計算完有限的程序以后，取f(-1)反變換回時間域，你就得到了一個輸出波形，剩下的就是你的數學計算了!"

張三謝過了上帝，保住了他的工作。后來他知道了，f域的變換有一個名字，叫做傅利葉，什么什么... ...

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再后來，公司開發了一種新的電子產品，輸出信號是無限時間長度的。這次，張三開始學拉普拉斯了......

后記:

不是我們學的不好，是因為教材不好，老師講的也不好。

很欣賞Google的面試題: 用3句話像老太太講清楚什么是數據庫。這樣的命題非常好，因為沒有深入的理解一個命題，沒有仔細的思考一個東西的設計哲學，我們就會陷入細節的泥沼: 背公式，數學推導，積分，做題;而沒有時間來回答"為什么要這樣"。做大學老師的做不到"把厚書讀薄"這一點，講不出哲學層面的道理，一味背書和翻講 ppt，做著枯燥的數學證明，然后責怪"現在的學生一代不如一代"，有什么意義嗎?

第二課 到底什么是頻率 什么是系統?

這一篇，我展開的說一下傅立葉變換F。注意，傅立葉變換的名字F可以表示頻率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因為它只是一個概念模 型，為了解決計算的問題而構造出來的(例如時域無限長的輸入信號，怎么得到輸出信號)。我們把傅立葉變換看一個C語言的函數，信號的輸出輸出問題看為IO 的問題，然后任何難以求解的x->y的問題都可以用x->f(x)->f-1(x)->y來得到。

1. 到底什么是頻率?

一個基本的假設: 任何信息都具有頻率方面的特性，音頻信號的聲音高低，光的頻譜，電子震蕩的周期，等等，我們抽象出一個件諧振動的概念，數學名稱就叫做頻率。想象在x-y 平面上有一個原子圍繞原點做半徑為1勻速圓周運動，把x軸想象成時間，那么該圓周運動在y軸上的投影就是一個sin(t)的波形。相信中學生都能理解這 個。

那么，不同的頻率模型其實就對應了不同的圓周運動速度。圓周運動的速度越快，sin(t)的波形越窄。頻率的縮放有兩種模式

(a) 老式的收音機都是用磁帶作為音樂介質的，當我們快放的時候，我們會感覺歌唱的聲音變得怪怪的，調子很高，那是因為"圓周運動"的速度增倍了，每一個聲音分量的sin(t)輸出變成了sin(nt)。

(b) 在CD/計算機上面快放或滿放感覺歌手快唱或者慢唱，不會出現音調變高的現象：因為快放的時候采用了時域采樣的方法，丟棄了一些波形，但是承載了信息的輸出波形不會有寬窄的變化;滿放時相反，時域信號填充拉長就可以了。

2. F變換得到的結果有負數/復數部分，有什么物理意義嗎?

解釋: F變換是個數學工具，不具有直接的物理意義，負數/復數的存在只是為了計算的完整性。

3. 信號與系統這們課的基本主旨是什么?

對于通信和電子類的學生來說，很多情況下我們的工作是設計或者OSI七層模型當中的物理層技術，這種技術的復雜性首先在于你必須確立傳輸介質的電氣特性， 通常不同傳輸介質對于不同頻率段的信號有不同的處理能力。以太網線處理基帶信號，廣域網光線傳出高頻調制信號，移動通信，2G和3G分別需要有不同的載頻 特性。那么這些介質(空氣，電線，光纖等)對于某種頻率的輸入是否能夠在傳輸了一定的距離之后得到基本不變的輸入呢? 那么我們就要建立介質的頻率相應數學模型。同時，知道了介質的頻率特性，如何設計在它上面傳輸的信號才能大到理論上的最大傳輸速率?----這就是信號與 系統這們課帶領我們進入的一個世界。

當然，信號與系統的應用不止這些，和香農的信息理論掛鉤，它還可以用于信息處理(聲音，圖像)，模式識別，智能控制等領域。如果說，計算機專業的課程是數 據表達的邏輯模型，那么信號與系統建立的就是更底層的，代表了某種物理意義的數學模型。數據結構的知識能解決邏輯信息的編碼和糾錯，而信號的知識能幫我們 設計出碼流的物理載體(如果接受到的信號波形是混亂的，那我依據什么來判斷這個是1還是0? 邏輯上的糾錯就失去了意義)。在工業控制領域，計算機的應用前提是各種數模轉換，那么各種物理現象產生的連續模擬信號(溫度，電阻，大小，壓力，速度等) 如何被一個特定設備轉換為有意義的數字信號，首先我們就要設計一個可用的數學轉換模型。

關鍵詞： 傅立葉變換 卷積